domenica 18 febbraio 2024

Contrappunti aurei

Nemmeno l'Arte della fuga, capolavoro incompleto composto da Johann Sebastian Bach nei suoi ultimi anni di vita, basato sulla breve, celeberrima sequenza
poteva sfuggire al golden numberism tanto inviso a Ruth Tatlow (ne ho parlato qui). In effetti, nel saggio The matematical architecture of Bach's "The Art of Fugue", pubblicato sulla rivista Il saggiatore musicale nel 2010,  Loïc Sylvestre e Marco Costa smontano meticolosamente una possibile sequenza dei 14 (14=B+A+C+H, tra l'altro) contrappunti, identificando a diversi livelli un'architettura apparentemente basata sul rapporto aureo. 
I due autori ipotizzano che Bach abbia consciamente concepito la struttura da loro identificata, in linea con gli scopi della della Societät der musicalischen Wissenschaften, sodalizio "virtuale" (comunicava soltanto per corrispondenza) di stampo pitagorico, che nei suoi due decenni di attività annoverò tra le sue fila pure Telemann e Händel. 

Al momento sto ascoltando, in sottofondo, una versione per quartetto d'archi che trovo particolarmente pregevole, quella incisa dal quartetto Emerson nel 2003.

giovedì 15 febbraio 2024

Perepè (reprise)

Come osserva giustamente Julian F. Fleron nel suo articolo Gabriel's Wedding Cake (archiviato qui), il calcolo dell'area di una superficie di rotazione si trova un po' al limite di quello che può essere insegnato al liceo (io però ne faccio accenno, omettendo le dimostrazioni). Per illustrare il paradosso del pittore in modo (?) più elementare, propone quindi di rimpiazzare la tromba di Gabriele con una "torta nuziale di Gabriele", ottenuta ruotando attorno all'asse delle ascisse per $x\ge$1 il grafico della funzione "a scalini"

$$ f(x) = \lfloor x \rfloor $$

(la "parte intera" di $x$, quindi $f(x)=1$ per $1\le x < 2$, $f(x)=2$ per $2\le x < 3$ ecc.).


Così facendo, per la determinazione del volume e della superficie laterale, il calcolo integrale viene rimpiazzato da considerazioni (tutt'altro che elementari), sulle serie numeriche; in particolare, fanno capolino due serie storicamente molto rilevanti.

Il volume complessivo è ottenuto sommando i volumi degli infiniti cilindri di altezza unitaria e raggio di base $\frac{1}{n}$ con $n=1,2,3,\ldots$. Ricordando la soluzione del problema di Basilea (posto da Pietro Mengoli nel 1650 e risolto da Leonhard Euler nel 1735), vale

$$V = \sum_{n=1}^{\infty} \pi \cdot \left( \frac 1n \right)^2 = \pi \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^2} = \pi \cdot \zeta(2) = \pi \cdot \frac{\pi^2}{6} =  \frac{\pi^3}6 \quad.$$

Per quanto riguarda l'area complessiva, occorre considerare separatamente la superficie complessiva $S_A$ delle infinite corone circolari di raggi $\frac 1n$ e $\frac 1{n+1}$ e la superficie laterale complessiva $A_C$ degli infiniti cilindri di altezza unitaria e raggi $\frac 1n$. Calcoliamo quindi innanzitutto la "somma telescopica"

$$S_A = \sum_{n=1}^\infty \left( \pi\cdot \left(\frac1n\right)^2 - \pi\cdot \left(\frac1{n+1}\right)^2\right) = \pi \sum_{n=1}^\infty \left( \frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\right)$$

$$=\pi\left( 1- \lim_{n\to\infty}\frac1{(n+1)^2}\right)=\pi$$

(risultato tutt'altro che stupefacente, se si osserva l'oggetto da un punto infinitamente lontano sull'asse delle ascisse), e inoltre

$$S_C=\sum_{n=1}^\infty 2\pi \cdot 1 \cdot \frac1n = 2\pi \sum_{n=1}^\infty \frac1n = +\infty \quad,$$

dal momento che, come già sapeva Nicola D'Oresme nel lontano 1350, la serie armonica diverge.


mercoledì 14 febbraio 2024

Perepè

Già, perepè (onomatopea presa a prestito da una dimenticata canzoncina risalente alla settima edizione dello Zecchino d'oro). È l'avviso che compare puntualmente ogni giorno  alle 17 sul mio cellulare, per ricordarmi di dedicare un po' di tempo quello che è tornato ad essere, dopo una ventina d'anni, il mio hobby ufficiale, la tromba (rimpiazzata dalla sua meno squillante sorella minore, la cornetta, nei periodi in cui la brass band prende il sopravvento sulla banda, o sull'orchestra, o sull'orchestra di fiati). Perfezionata, nella versione attuale, a cavallo tra il XVIII e il XIX secolo, la tromba vanta non pochi estimatori, non solo in ambito jazzistico, e fra questi certamente anche qualche matematico. Il più noto è probabilmente Marcus DuSautoy, che occasionalmente fa sfoggio delle sue doti musicali nei suoi interventi divulgativi. Ma online si trova, ovviamente, un po' di tutto, come chi (qui) ha studiato la propagazione dell'onda di pressione all'interno di una tromba facendo uso delle tecniche della fluidodinamica computazionale.

Ma la tromba più cara ai matematici è un oggetto decisamente più astratto, ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse il grafico della funzione $y=\frac{1}{x}$ per $x>1$: 

si tratta dell'arcinota tromba di Torricelli, o dell'Arcangelo Gabriele (Gabriel's Horn), le cui caratteristiche geometriche la rendono protagonista del paradosso del pittore: per dipingerla occorre una quantità infinita di vernice, ma la quantità che può contenerne è solo finita. In termini più matematici: si tratta di un volume finito (di misura $\pi$, tra l'altro) racchiuso da una superficie di area infinita. Evangelista Torricelli dimostrò questo fatto nel trattato De solido iperbolico acuto, impiegando ingegnosamente il principio di Cavalieri, sviluppato dal suo maestro Bonaventura Cavalieri (essenzialmente, la ripresa di un discorso interrotto quasi due millenni prima dalla morte di Archimede, nonché uno step fondamentale sulla strada che avrebbe condotto al calcolo integrale). Oggi la dimostrazione di questo fatto è un'applicazione non particolarmente problematica del calculus, proponibile al termine del percorso liceale o immediatamente dopo. La si può trovare, assieme ad altre interessanti considerazioni, nell'articolo Tromba di Torricelli o dell'arcangelo Gabriele, scritto dall'amico Andrea Pellegrinelli assieme al compianto Maurice Froidcoeur e pubblicato nel numero 128 del Bulletin della SSIMF (la Società svizzera degli insegnanti di matematica e fisica).

Chiudo qui, per oggi. Anche perché sono le 16:56 e fra quattro minuti il mio iPhone mi inviterà a passare un'oretta in compagnia della mia Bach Stradivarius 37 ML, acquistata quasi una quarto di secolo fa (o forse della sua sorellina, una cornetta Yamaha Xeno, che le fa compagnia da poco più di un anno).

venerdì 29 dicembre 2023

Letture...

Ho accantonato alcuni dei (molti) libri che ho letto negli ultimi mesi (essenzialmente, quelli che hanno almeno tangenzialmente a che fare con la matematica), nell'attesa di riferirne qui. Ma come d'abitudine ho aspettato troppo a lungo, e il ricordo è piuttosto sbiadito.
Poco male; mi limiterò a qualche parola di circostanza...
  • The Creativity Code, di Marcus Du Sautoy. Visti i progressi praticamente quotidiani, un libro sull'IA rischia di non essere molto più di un instant book. Qui, in parte, è il caso: la prima edizione è del 2019, e nel frattempo di cose ne sono successe parecchie (i chatbot, in particolare). Ma il volume non è comunque ancora da accantonare: Du Sautoy è acuto ed efficace come di consueto, e molte delle sue riflessioni su quello che accomuna musica, matematica e arti visive rimarranno sempre attuali.
  • Turing's Cathedral, di George Dyson. Imperniato, a dispetto del titolo, più sulla figura di John Von Neumann che su quella di Alan Turing, il libro descrive i progressi pionieristici nel campo informatico compiuti a Princeton nei primi anni del secondo dopoguerra. L'autore (figlio del fisico Freeman Dyson) mostra una conoscenza enciclopedica dei fatti e dei personaggi, e il volume merita certamente una lettura attenta.
  • Oscura e celeste, di Marco Malvaldi. Dopo La misura dell'uomo, dedicato a Leonardo da Vinci, Malvaldi ci propone un altro giallo storico, i cui protagonisti stavolta sono Galileo Galilei e la figlia Virginia. Senz'altro ben scritto, ci mancherebbe, ma forse un po' più noiosetto di altre opere dell'autore, che qui sembra un pochino ingabbiato (ma il romanzo storico, dopo tutto, certe regole le deve rispettare). Comunque godibile.  
  • La morra cinese, ancora di Marco Malvaldi. Me lo sono goduto molto di più, anche perché, come molti, mi sono affezionato al BarLume, al barrista Massimo e ai suoi Vecchietti. La soluzione del caso, stavolta, arriva nientemeno che dalla teoria dei grafi. Si legge tutto d'un fiato.
  • Stella Maris, l'ultimo (davvero, purtroppo) romanzo di Cormac McCarthy. Una sorta di appendice, o di aggiunta, a Il passeggero (che qualcuno considera un capolavoro ma che personalmente ho fatto un po' fatica a terminare, perché a un certo punto la trama esplode letteralmente, senza arrivare a nessun tipo di conclusione). Un dialogo denso e straziante tra la protagonista occulta del passeggero, matematica geniale, amica di Alexander Grothendieck, e il suo terapista, ambientato nella clinica in cui lei è ricoverata. Il finale, tragico, non viene narrato, ma è già noto a chi ha letto il libro gemello.


giovedì 28 dicembre 2023

Quadratura del cerchio?

Tra i miei acquisti compulsivi e poco ragionati di quest'anno spicca un volume del 1763, acquistato di getto ad un'asta online,

(consultabile per intero qui). Tra suggerimenti per misurare campanili, boschi e navigli, fanno capolino anche alcune costruzioni geometriche, da realizzarsi (più o meno) con riga e compasso. Tra queste vi è pure una "quadratura del cerchio", ottenuta assemblando alcuni procedimenti descritti nelle pagine precedenti (quadratura di un rettangolo, media geometrica). Eccola:


La costruzione (come avrebbe definitivamente dimostrato Lindemann 120 anni più tardi) non può che essere approssimata, e utilizza la classicissima stima del pi greco con la frazione 22/7. Ne esistono di più precise, ma più complesse. Su Wikipedia se ne trovano alcune.