lunedì 31 dicembre 2012

Crescita esponenziale

Tra gli esempi più "gettonati" per illustrare l'incredibile rapidità della crescita esponenziale vi è senz'altro la "leggenda degli scacchi", efficacemente narrata nell'incipit del bel romanzo La variante di Lüneburg di Paolo Maurensig: "Sembra che l'invenzione degli scacchi sia legata a un fatto di sangue. Narra infatti una leggenda che quando il gioco fu presentato per la prima volta a corte il sultano volle premiare l'oscuro inventore esaudendo ogni suo desiderio. Questi chiese per sé un compenso apparentemente modesto, di avere cioè tanto grano quanto poteva risultare da una semplice addizione: un chicco sulla prima delle sessantaquattro caselle, due sulla seconda, quattro sulla terza, e così via... Ma quando il sultano, che aveva in un primo tempo accettato di buon grado, si rese conto che a soddisfare una simile richiesta non sarebbero bastati i granai del suo regno, e forse neppure quelli di tutta la terra, per togliersi dall'imbarazzo stimò opportuno mozzargli la testa."
Tale leggenda, evidentemente di origine orientale,  doveva essere ben nota in occidente già nel XIII secolo, dal momento che Dante ne fa uso nel Canto XXVIII del Paradiso ("più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla") per descrivere la moltitudine degli Spiriti Angelici.
Il cortometraggio animato 2^n: A Story of The Power of Numbers, prodotto dai coniugi Ray e Charles Eames (quelli di Powers of 10, di cui ho parlato qui) traduce la leggenda in forma di cartoon. Eccolo qui (finché qualcuno non lo rimuoverà; comunque è disponibile nella app gratuita Minds of Modern Mathematics):


venerdì 28 dicembre 2012

Maths on the beach

Matematica sulla spiaggia. Il caos e il ferro di cavallo è un'interessante conversazione con il celebre matematico Stephen Smale uscita nella collana Dialoghi scienza dell'editore Di Renzo. Dall'impegno politico nella sinistra studentesca fino ai trionfi nei campi della topologia e dei sistemi dinamici, premiati con i riconoscimenti più prestigiosi (Medaglia Fields 1966, condivisa con altre tre Leggende, Premio Wolf 2007), il libretto delinea in modo abbastanza efficace il percorso personale e la carriera di una delle figure più significative della matematica della seconda metà del XX secolo, nota anche per la dimostrazione della Congettura di Poincaré per dimensioni maggiori di quattro (risultato, ahimè, maldestramente accennato nella quarta di copertina). Curioso (ma in fondo non così sorprendente) il modo di "fare matematica" di Smale, che per alcuni tra i suoi risultati più interessanti trovò ispirazione sulla spiaggia di Copacabana.
A conferma del suo enorme prestigio, si può ancora aggiungere che nel 1998, su invito dell'Unione Matematica Internazionale (allora presieduta da Vladimir Arnol'd) Smale compilò un elenco di problemi (pubblicati anche qui) per la matematica del XXI secolo, compito che cent'anni prima era stato assunto nientepopodimeno che dal grande David Hilbert.

mercoledì 26 dicembre 2012

I magnifici sette

Il calcolatore universale, del matematico statunitense Martin Davis, rappresenta un riuscitissimo tentativo di delineare attraverso sette Protagonisti (Leibnitz, Boole, Frege, Cantor, Hilbert, Gödel e Turing) il percorso che ha condotto alla moderna teoria della computazione, dai sogni di Leibnitz e Hilbert ("Wir müssen wissen, wir werden wissen") alla macchina di Turing, passando attraverso la logica formale di Boole e l'incompletezza di Gödel, senza dimenticare il ruolo fondamentale del metodo della diagonale di Cantor. Davis, allievo di Alonzo Church e a sua volta matematico di prim'ordine (contribuì alla risoluzione del decimo problema di Hilbert) descrive in modo chiaro il lungo cammino che ha infine condotto, quasi come "effetto collaterale", alla creazione dei primi computer, sia soffermandosi sulle vicende umane dei Protagonisti, sia cercando di rendere comprensibile ad un lettore non particolarmente esperto le geniali idee che hanno ispirato alcuni tra i più spettacolari risultati della matematica del XX secolo. Caldamente consigliato.

giovedì 6 dicembre 2012

Da Ahmes a Fourier

La trigonometria rappresenta probabilmente il primo argomento "forte" della matematica liceale, dopo un'interminabile sequela di ripassi di carattere tecnico, necessari sì ma non propriamente esaltanti. Rappresenta anche la prima, vera occasione di affrontare il discorso geometrico oltre lo scontato teorema di Pitagora (che tanto scontato non è: vedi qui). Ma spesso non ne approfittiamo appieno: sull'onda di quanto fatto in precedenza, tendiamo a sciorinare definizioni, teoremi ed identità senza troppo entusiasmo, forse perché a nostra volta non abbiamo mai approfondito l'argomento dopo il liceo (in fondo, non si tratta di matematica di livello universitario...). Il libro Trigonometric Delights di Eli Maor (un vero esperto in questo tipo di operazioni, vedi qui e qui) si propone proprio di arricchire le conoscenze trigonometriche del lettore dal punto di vista storico e interdisciplinare, ripercorrendo lo studio degli angoli e delle loro applicazioni dalla geometria del papiro Rhind (circa 1650 a.C.) all'analisi di Fourier (XVIII / XIX sec.). Particolare attenzione viene dedicata alle applicazioni astronomiche e cartografiche (come la proiezione di Mercatore). Risultano inoltre interessanti le curiosità disseminate nel testo (una l'ho già menzionata qui altre seguiranno), così come le brevi biografie di alcuni Protagonisti (il Regiomontano, Viète, De Moivre, Maria Agnesi, Lissajous e Landau).
Una lettura stimolante e consigliatissima, quindi. Tra l'altro, il libro è disponibile gratuitamente online qui, sul sito dell'editore.

domenica 2 dicembre 2012

Topologia?

Un ottimo studente di IV, Mario J., mi ha sottoposto qualche giorno fa un intrigante rompicapo, che vi ripropongo nella forma originale:
(sorvoliamo sull'abuso del simbolo di uguaglianza).
A giudicare da quanto si dice in rete, il tempo richiesto per la risoluzione dovrebbe essere inversamente proporzionale alle competenze matematiche: un alunno della scuola primaria lo risolverebbe in brevissimo tempo mentre pare che per chi è in possesso di un Ph.D. l'impresa sia disperata.
Io, che un Ph.D. ce l'ho, ci ho impiegato alcuni minuti. Devo rallegrarmene o preoccuparmi?

sabato 1 dicembre 2012

Letture...

Dal cumulo di detriti che ricopre la mia scrivania sono emersi tre libri che ho letto alcuni mesi fa. Purtroppo il ricordo è troppo sbiadito per poterli recensire con cognizione di causa; mi limiterò a menzionarli brevemente.
  • Bricologica. Trenta oggetti matematici da costruire con le mani, di Robert Ghattas. Un libro per certi versi simile a questo, ma con qualche pretesa in più, sia dal punto di vista estetico che da quello matematico. Molto carino, anche se alcuni tra gli approfondimenti risultano forse un po' troppo sintetici.
  • Il meraviglioso modo dei numeri, di Alex Bellos. Forse non farà "amare la matematica a tutti, anche a chi l'ha odiata a scuola", come recita il sottotitolo, ma potrà senz'altro contribuire a renderla un po' meno antipatica. Successioni, equazioni, pi greco, la sezione aurea sono solo alcuni degli argomenti scelti dal simpatico divulgatore inglese per trasmetterci la sua genuina passione per la matematica. Trovo particolarmente interessante la selezione di aneddoti proposti dall'autore, che contribuiscono a rendere più umane alcune figure di cui siamo abituati a leggere soltanto i nomi sui testi scolastici e universitari (un esempio: l'ossessione di Henri Poincaré per la misura delle baguettes). Un libro che mi sento di consigliare senza riserve (nonostante qualche leggerezza sparsa qua e là).
  • L'assassino degli scacchi e altri misteri matematici, di Benoît Rittaud, un'antologia a sfondo matematico. Non tutti i racconti mi hanno ugualmente convinto dal punto di vista narrativo, ma  ho apprezzato senza riserve gli approfondimenti che fanno da corredo alle storie. Mi è piaciuto in particolare l'episodio che dà il titolo alla raccolta, nonché la vicenda, arcinota ma sempre stuzzicante, di Talete che misura la piramide "ascoltando le confidenze del cielo".

giovedì 1 novembre 2012

Forse non tutti sanno che...

... se $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$ sono gli angoli interni di un triangolo, vale
$$\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma =\tan\alpha \cdot \tan\beta \cdot \tan \gamma \quad.$$
Ho scovato questa formula (un'applicazione della formula di addizione per la tangente) nella prefazione di Trigonometric Delights di Eli Maor, che ho appena iniziato a leggere. Chissà quante altre delizie mi aspettano all'interno del libro...

Un attimo prima di pubblicare questo post, ho realizzato che l'enunciato può funzionare anche al contrario: siano $a$, $b$ e $c$ tre numeri reali positivi con $a\cdot b >1$ (la condizione non è minima, ma vabbe') e
$$a \cdot b \cdot c = a + b + c \quad;$$
allora vale
$$a=\tan\alpha \;,\;b=\tan\beta \;,\;c=\tan\gamma$$
dove
$$
\alpha + \beta + \gamma = \pi \quad,
$$
cioè
 $${\rm arctan}(a)+{\rm arctan}(b)+{\rm arctan}(c)=\pi \quad.$$
Ad esempio, con $a=1$, $b=2$ e $c=3$ (l'unica possibilità, a meno di permutazioni, con $a$, $b$ e $c$ interi) otteniamo
$${\rm arctan}(1)+{\rm arctan}(2)+{\rm arctan}(3)=\pi \quad.$$

domenica 28 ottobre 2012

Il punto e la linea

Dopo un'escursione nella higher (highest?) mathematics della congettura abc, festeggiamo questo centocinquantesimo post con il cortometraggio animato The Dot and the Line: A Romance in Lower Mathematics (premio Oscar 1965), tratto dall'omonimo libro illustrato dell'architetto statunitense Norton Jouster, a sua volta ispirato dal Flatland di Abbott:


Regista del cortometraggio è il leggendario Chuck Jones, autore di alcuni fra i più celebri e divertenti toons Warner e MGM, come il mio Scacciapensieri preferito, il Road Runner (che dalle mie parti ci ostiniamo a chiamare bibip...).

sabato 27 ottobre 2012

Semplice come l'abc

La Congettura abc, formulata negli anni '80 da David Masser dell'Università di Basilea e da Joseph Oesterlé dell'Università di Parigi-Jussieu, rappresenta probabilmente il più importante problema irrisolto nell'ambito dell'analisi diofantea. Ispirata da un analogo risultato valido per i polinomi (il teorema di Mason), essa può essere enunciata come segue: sia $\varepsilon>0$; allora esiste una costante $k(\varepsilon)$ tale che, se $a$, $b$ e $c$ sono tre interi positivi coprimi con
$$a+b=c \quad$$ vale
$$c \le k(\varepsilon) \prod_{p | abc} p^{1+\varepsilon} \quad,$$
dove il prodotto viene effettuato su tutti i fattori primi di $a$, $b$ e $c$.  Una formulazione equivalente è la seguente: per $\varepsilon>0$ la disuguaglianza
$$ c >  \prod_{p | abc} p^{1+\varepsilon}$$ è vera solo per un numero finito di terne di numeri naturali $(a,b,c)$ con $a+b=c$ e $MCD(a,b,c)=1$. Citando Richard K. Guy in Unsolved Problems in Number Theory, "se fra tre numeri vi è una relazione additiva, allora i rispettivi fattori primi non possono essere tutti troppo piccoli". Da notare, come mostrato qui da Fritz Beukers, che $\varepsilon$ non può essere scelto uguale a zero: è quindi l'incremento, anche ridottissimo ("piccolo a piacere", come ogni $\varepsilon$ che si rispetti) dell'esponente a ridurre il numero di "eccezioni" da infinito a finito.
Si tratta ovviamente di un enunciato piuttosto criptico per i non-iniziati (e anche per gli appena-un-po' iniziati come me), interessante perché mette in relazione la struttura additiva e la struttura moltiplicativa di $\mathbb N$. La sua significatività è attestata dal fatto che abc rappresenta una sorta di generalizzazione di alcuni tra i risultati più spettacolari della teoria dei numeri del '900, come spiegano Andrew Granville e Thomas Tucker qui: il Teorema di Roth sulle approssimazioni razionali (Medaglia Fields 1958), il Teorema di Bombieri sui numeri primi nelle progressioni aritmetiche (Medaglia Fields 1970), il Teorema di Baker sulle forme lineari nei logaritmi (Medaglia Fields 1974), il Teorema di Faltings (cioè la Congettura di Mordell, Medaglia Fields 1986), il Teorema di Wiles (cioè la Congettura di Fermat; purtroppo a Wiles la Medaglia sfuggì per raggiunti limiti d'età, ma nel 1998 gli venne comunque attribuito un premio speciale).
La recente notizia della possibile dimostrazione della Congettura abc, data tra l'altro da Nature e dal New York Times, mi ha riportato alla memoria una sessione di esami di quasi vent'anni fa, per la quale dovetti studiarmi congettura, annessi e connessi. Ricordo la notte prima dell'esame di Curve ellittiche I e II, praticamente insonne, e le occhiaie da paura con cui mi presentai la mattina al politecnico (la prima domanda dell'esaminatore fu "haben Sie nicht geschlafen?"). Fortunatamente poi tutto andò per il verso giusto, il Professore in questione mi assunse come assistente e dottorando di ricerca e la teoria dei numeri divenne, per un po', il mio pane quotidiano (anche se le mie "ricerche" mi condussero piuttosto lontano da abc).
L'autore della (per ora) presunta dimostrazione della Congettura abc è il matematico giapponese Shinichi Mochizuki, allievo di Gerd Faltings e professore all'Università di Kyoto. Al momento non è chiaro quanto tempo ci vorrà per verificare la correttezza del suo lavoro, un tour de force titanico, distribuito su quattro densissimi articoli per un totale di circa 500 pagine (eccoli qui : I parte, II parte, III parte, IV parte). Il titolo scelto per i quattro lavori, Teoria di Teichmüller inter-universale, fa già supporre che ci si trovi di fronte ad una matematica "nuova", il cui unico esperto, al momento, potrebbe essere Mochizuki stesso (al profano, in effetti, i quattro lavori potrebbero sembrare non troppo diversi dai nonsensi di cui ho parlato qui). Ma il pedigree accademico del quarantatreenne geometra inter-universale (che, come Wiles, è fuori tempo massimo per aggiudicarsi la Medaglia Fields) può senz'altro indurre ad un certo ottimismo.

martedì 23 ottobre 2012

Gibberish

Solitamente, per comunicare i propri risultati i matematici si affidano ai peer-reviewed journals, riviste specializzate che condizionano la pubblicazione di un saggio alla recensione da parte di uno o più esperti (i cosiddetti peers). Qualcosa però non deve aver funzionato nel processo di accettazione del saggio Independent, Negative, Canonically Turing Arrows of Equations and Problems in Applied Formal PDE da parte della rivista online ad accesso libero Advances in Pure Mathematics. In effetti, come segnala il solito Cory Doctorow su boingboing, il paper in questione è stato assemblato in modo assolutamente casuale dal programma mathgen, in grado di generare testi privi di senso ma esteticamente somiglianti a veri saggi a sfondo matematico.
Ad onor del vero, come riporta l'autore della burla, Nate Eldredge, i redattori del periodico qualche incongruenza l'avrebbero anche notata; il motivo della mancata pubblicazione va però ricercato nel mancato pagamento dei 500$ richiesti all'autore per il processo (?) di accettazione. Una storia divertente, che getta però una luce sinistra sul proliferare di pubblicazioni pseudo-scientifiche online (tra l'altro, la rivista in questione fa probabilmente affidamento sulla somiglianza del suo nome con quello della prestigiosa Advances in Mathematics).
Per farsi due risate, il programma mathgen può essere utilizzato online. Ecco un esempio di nonsenso prodotto in perfetto stile LaTex:

mercoledì 29 agosto 2012

A zonzo nel passato

Grazie al Mathematics Genealogy Project, ho provato ad esplorare a ritroso il mio "albero genealogico accademico" (che, ad essere pignoli, albero non è, vista la presenza di cicli). Tra i primi nomi (che attestano la mia ascendenza "tedesca") ho incontrato alcuni Grandi della matematica degli ultimi due secoli (Siegel, Landau, Weierstrass, Kummer, Gauss (dal quale discendiamo un po' tutti...)); più a monte  compaiono Copernico, Snell, Luca Pacioli e il Regiomontano (che risulta avere quasi centomila discendenti). Più curiosi però sono altri nomi, per i quali non è sempre chiara la relazione con la matematica: il filosofo (e astrologo) Marsilio Ficino, il Poliziano, gli anatomisti Gabriele Falloppio e Andrea Vesalio e perfino il teologo riformato Melantone. Ma la cosa non deve stupire più di quel tanto, dal momento che la matematica è parte integrante della nostra cultura (se ora riuscissi a farlo capire anche ai miei allievi, o magari almeno ai loro genitori...).

lunedì 6 agosto 2012

Euclide lo sapeva...

Un poligono nel piano può essere scomposto in un numero finito di triangoli; ognuno di essi può poi essere a sua volta scomposto e ricomposto finitamente (supposto l'assioma archimedeo) in un rettangolo avente la stessa area. In altre parole, due triangoli di stessa base e stessa altezza possono sempre essere ricondotti con un numero finito di scomposizioni l'uno all'altro. Conseguenza diretta di tutto ciò è il fatto che la nozione di area, per quanto riguarda i poligoni nel piano, può essere definita senza dover scomodare il metodo di esaustione, il principio di Cavalieri o il calculus. Un interrogativo sorge spontaneo: tale procedimento si generalizza pure al volume dei poliedri nello spazio tridimensionale? È evidente che un poliedro può essere scomposto in un numero finito di tetraedri; ma un tetraedro può essere ricondotto, in un numero finito di passaggi, ad un parallelepipedo di volume equivalente? Come anticipa già Euclide (nel Libro XII degli Elementi), la dimostrazione classica della formula Volume di una piramide uguale area di base per altezza diviso tre fa ricorso ad una deformazione "infinitesimale" del solido, al fine di inserirne tre copie in un prisma retto. Al termine del XIX secolo non erano ancora state prodotte dimostrazioni più elementari di questo fatto, e ciò indusse il grande Hilbert ad inserire il problema al terzo posto del suo famoso elenco ("Specificare due tetraedri di basi uguali e altezze uguali che non possano in alcun modo essere scomposti in tetraedri congruenti, e che non possano nemmeno essere combinati con tetraedri congruenti per formare poliedri che siano scomponibili in tetraedri congruenti"). La soluzione arrivò di lì a poco, grazie a Max Dehn (allievo di Hilbert, tra l'altro; sarà un caso?), che vi pervenne grazie ad un ingegnoso utilizzo dell'algebra applicata all'invariante che oggi porta il suo nome.
Avevo sempre trovato strana la collocazione scelta da Hilbert per un "banale" problema sui poliedri, situato immediatamente dopo l'ipotesi del continuo e la consistenza dell'aritmetica, anche se a dire il vero non avevo mai approfondito più di quel tanto la questione. Ad aprirmi gli occhi ci ha pensato Claudio Bartocci con l'eccellente saggio Una piramide di problemi, che prendendo spunto dal #3 ci conduce per mano attraverso l'eccezionale avventura intellettuale rappresentata dalla geometria ottocentesca, i cui approcci rivoluzionari permisero di affrontare questioni come quella menzionata (ma anche di aprire nuovi orizzonti alla fisica). Il libro di Bartocci, denso e intrigante, rappresenta un vero tour de force per il lettore, al quale si richiede ben più di un'infarinatura di matematica. La sua lettura permette da un lato di situare storicamente alcune delle conquiste più notevoli della matematica nel periodo che va da Gauss a Hilbert (in particolare per quanto riguarda le geometrie non euclidee e gli aspetti assiomatici), dall'altro (con un notevole sforzo ulteriore) di apprezzarne anche gli aspetti tecnici. Un gran bel libro, ma certamente non alla portata di tutti.

giovedì 2 agosto 2012

Mon Dieu! C'est l'arithmétique!

Carino, questo piccolo incubo aritmetico ispirato dalla fantasia lirica L'enfant et les sortilèges, composta da Maurice Ravel quasi un secolo fa. Il testo è consultabile ad esempio qui.

giovedì 26 luglio 2012

Bonjour, Gaspard

A Beaune, tappa intermedia del viaggio che mi ha condotto nella zona dei castelli della Loira (dove ho trascorso due splendide settimane di vacanza) mi sono imbattuto del tutto casualmente nel monumento riprodotto a lato, dedicato a Gaspard Monge, nato nel 1746 proprio nel capoluogo vinicolo della Borgogna (quasi vent'anni fa, sempre casualmente, mi imbattei nel suo cenotafio al Père-Lachaise). Monge, scomparso nel 1818, fu un personaggio di primo piano del periodo rivoluzionario. Stretto collaboratore di Napoleone (partecipò, tra l'altro, alla campagna d'Egitto, e ne condivise il rapido declino), viene solitamente ricordato come il padre della geometria descrittiva, disciplina oggi definitivamente uscita dai programmi scolastici (ricordo con una certa nostalgia i due anni di corso al Liceo, che mi avevano aiutato a sviluppare una discreta immaginazione spaziale, facoltà che oggi, tra i miei allievi, sembra sconfinare nel paranormale). Ma i contributi del matematico borgognone vanno ben al di là della semplice rappresentazione degli oggetti tridimensionali: in particolare, il suo trattato Application de l'analyse à la géometrie ne fa uno dei maggiori ispiratori della moderna geometria differenziale.

giovedì 28 giugno 2012

L'inferno/paradiso dei numeri

Qualche settimana fa ho letto, per curiosità, un libro che avevo acquistato da tempo, Il mago dei numeri, dell'intellettuale bavarese Hans-Magnus Enzensberger. Un'opera senz'altro simpatica e degna di nota, scritta per un pubblico di bambini ma consigliabile anche ai più grandicelli (le competenze matematiche, ahimè, spesso non evolvono significativamente tra i 10 e i 100 anni d'età...). Il protagonista è un ragazzino, il piccolo Roberto, che in sogno viene avvicinato da una strana creatura, il mago (in originale Teufel, diavolo) dei numeri, il quale, notte dopo notte, lo introduce in modo graduale e giocoso alle bellezze della matematica. Partendo da semplici considerazioni aritmetiche, i due finiscono per discutere di argomenti che solitamente non reputeremmo alla portata di un decenne: i numeri primi, i numeri figurati, i numeri di Fibonacci, il calcolo combinatorio, la sezione aurea, perfino l'irrisolta congettura di Goldbach e la formula per i poliedri di Euler costellano il percorso che a poco a poco conduce Roberto fino all'inferno/paradiso dei numeri, dove avrà modo di intrattenersi con alcuni dei personaggi che nel frattempo avrà imparato a conoscere: tra gli altri, Bonaccione e le sue lepri, il professor Boiler e lord Ruzzolo. L'apparentemente irriverente storpiatura dei nomi propri e comuni (i numeri primi diventano numeri principi,  le radici diventano rape, il fattoriale diventa bum!), che hanno certamente rappresentato una sfida per il traduttore, contribuiscono a sdrammatizzare i concetti e ad avvicinarli alla sensibilità dell'infanzia (anche se poi sarà opportuno dare un'occhiata all'Elenco persone e oggetti smarriti, dove i nomi corretti sono riportati). 
Un libro divertente e stimolante, insomma. Tra un paio d'anni lo sottoporrò ai miei figli, per testarne "sul campo" l'efficacia.

sabato 23 giugno 2012

Non solo conigli - 2

Ho accompagnato la lettura del libro di Devlin su Fibonacci con un interessante volumetto uscito qualche anno fa per Bruno Mondadori, Giochi matematici del medioevo. Curato da Nando Geronimi, esso comprende una scelta di 64 problemi tratti dal Liber Abaci, che ben illustrano come tale opera non fosse soltanto un manuale di matematica contabile volto esclusivamente all'insegnamento degli algoritmi arabi. Infatti, alcuni dei quesiti (come quello relativo ai conigli o quello delle potenze di due sulla scacchiera) hanno certamente una connotazione ludica, e altri rivelano un profondo interesse per la matematica tout court, in particolare quando occorre dimostrare l'irrisolvibilità di un problema.
Il testo è abbellito, in copertina e nella parte conclusiva, dalle fotografie di alcune opere dell'artista milanese Mario Merz, esponente dell'arte povera letteralmente ossessionato dalla successione di Fibonacci.

venerdì 22 giugno 2012

Il crimine non paga (non molto, almeno)

Il sito di Scientific American segnala un singolare articolo apparso su Significance, periodico della Royal Statistical Society e dell'American Statistical Society. Intitolato Robbing banks: Crime does pay – but not very much, il breve saggio illustra, sulla base di dati statistici confidenziali, come il mestiere di rapinatore di banche in fondo non sia molto redditizio: analizzando con criteri economici gli esiti di 364 rapine effettuate nel Regno Unito sull'arco di tre anni, i tre autori (Barry Reilly, Neil Rickman  e Robert Witt) giungono alla conclusione che un "colpo" riuscito garantisce al rapinatore un guadagno netto medio di circa 12000 sterline, appena sufficiente per tirare avanti sei mesi senza tante pretese. Inoltre, dal momento che la probabilità di non venir catturati è pari all'incirca a 0.8, a partire dal quarto "raid" la probabilità di restare in libertà scende sotto la soglia di 0.5. In altre parole: per un rapinatore di carriera, dopo un paio d'anni è più probabile trovarsi al fresco che restare in libertà.

lunedì 11 giugno 2012

... aver le corna con i decimali

Qualcuno ricorderà Pippo Franco (nome d'arte di Franco Pippo) per un certo tipo di commedie anni '70 (oggi considerate quasi di culto), oppure per la sua partecipazione, qualche lustro più tardi, agli inguardabili spettacolini bagaglinari. A qualcun altro, forse, torneranno invece in mente i leggendari motivetti che, negli anni '80, l'avevano reso celebre come interprete di canzoni per bambini. Ma Pippo Franco fu anche un (misconosciuto) precursore del genere demenzial-musicale, con album quali Bededè o Cara Kiri. Proprio in quest'ultimo, del 1971, è contenuto il brano La statistica in cui il comico (forse ispirato dal più illustre Trilussa) ironizza a modo suo sull'uso e sull'abuso dei numeri. Eccolo qua, direttamente da YouTube:

domenica 10 giugno 2012

Matematica da passeggio?

Non ho potuto fare a meno di notare in libreria, visti gli sgargianti colori della copertina, il volumetto dal curioso (e un po' arbitrario) titolo Non si può dividere per zero, prima uscita della nuova collana Incroci dell'editore Bollati Boringhieri. L'autore è il matematico e giornalista sportivo argentino Adrián Paenza, molto noto in Sudamerica per i suoi libri e per la sua attività di divulgazione anche in ambito televisivo. Vista l'estrema eterogeneità, risulta abbastanza difficile descrivere in poche righe i contenuti del libro: il capitolo Numeri propone ad esempio l'Hotel di Hilbert, il problema di Collatz, l'irrazionalità della radice di 2 e il gioco delle tavole binarie, alla voce Personaggi incontriamo, fra gli altri, Pitagora, Poincaré, Fleming, Churchill e Turing, al capitolo Problemi ci confrontiamo da un lato con un classico della matematica divulgativa come il dilemma di Monty Hall, dall'altro con alcuni popolari quesiti (i tre amici che pagano un conto, i tre interruttori). L'ultimo capitolo, Riflessioni e curiosità, propone poi un guazzabuglio di, appunto, brevi riflessioni sull'essenza della matematica o sul modo in cui deve essere insegnata (queste ultime, ahimè, banali e scontate) e curiosità di vario genere, come il teorema dei quattro colori o l'origine della tastiera QWERTYTutto sommato, un libro abbastanza divertente (che, nella prima edizione italiana, contiene però qualche errore di troppo). 
Tra l'altro, per chi mastica un po' di spagnolo, le opere di Paenza sono scaricabili per uso personale a questo indirizzo.

mercoledì 30 maggio 2012

Grafi metropolitani

Uno degli esempi più sfruttati nell'ambito della teoria dei grafi è quello delle metropolitane, dove in effetti la distanza tra i nodi (le stazioni) assume un'importanza secondaria rispetto alla configurazione degli archi (i tratti di linea che le collegano). In altre parole, dove l'aspetto puramente topologico è preponderante rispetto a quello metrico.
Mostrando come sempre un occhio di riguardo per le applicazioni curiose della matematica, il popolare blogger Cory Doctorow segnala a tal proposito l'articolo A long-time limit for world subway networks, apparso recentemente su Interface, una pubblicazione online della Royal Society (ripreso, tra l'altro, anche da Wired e dalla BBC). Comparando le caratteristiche di 14 grandi sistemi di metropolitane, gli autori dell'articolo giungono alla conclusione che tali reti tendono a convergere verso una struttura con caratteristiche geometriche e topologiche comuni, indipendentemente dalla situazione sociale e geopolitica in cui esse si stanno sviluppando. Chissà, forse dietro a questo comportamento vi è qualche principio fondamentale: sarebbe interessante studiarlo anche su altri tipi di reti (strade, telecomunicazioni oppure, perché no, formicai).

lunedì 21 maggio 2012

Non solo conigli

Trae un po' in inganno la copertina (italiana) del saggio di Keith Devlin I numeri magici di Fibonacci, uscito recentemente da Rizzoli. In effetti il titolo e la grafica farebbero pensare ad un'ennesima trattazione del celeberrimo "problema dei conigli" e della sua relazione con la sezione aurea, e quindi con il Partenone, l'uomo di Vitruvio, il Nautilus e le pigne. E invece no: i "numeri magici" del titolo non sono i soliti 1, 1, 2, 3, 5, 8 e così via, bensì le cifre arabe che il matematico-mercante pisano Leonardo Bigollo (1170-1250 circa) contribuì in modo decisivo a divulgare per mezzo del suo Liber abbaci (o abaci), concepito per diffondere in ambito mercantile l'utilizzo del sistema numerico posizionale che aveva appreso nel corso dei suoi viaggi in oriente. Devlin ci propone quindi da un lato un viaggio all'interno dell'opera stessa, mettendo in evidenza le doti di divulgatore di Fibonacci e il suo interesse non solo pragmatico per la matematica, dall'altro una riflessione sulle sue fonti, sulla  sua genesi e sull'impatto che essa ha avuto sulla cultura scientifica occidentale, senza dimenticare le poche informazioni biografiche disponibili sull'autore.
Tra l'altro, il Liber Abbaci, in una sua riedizione ottocentesca, è consultabile qui.

venerdì 27 aprile 2012

Omicidi analitici

Nel saggio Numeri immaginari Emmer dedica un paio di paginette alla recensione del romanzo The Calculus of Murder, del matematico statunitense Erik Rosenthal. Incuriosito, me ne sono procurato una copia (il libro non è di facile reperibilità; credo ne esista anche un'edizione italiana), che ho appena terminato di leggere. Si tratta di un mystery senza tante pretese, dallo sviluppo abbastanza scontato, con protagonista un insegnante-ricercatore e detective part-time che, più o meno, mette in campo le sue competenze matematiche nella risoluzione dei casi affidatigli. Più o meno, perché la matematica presente nel romanzo è abbastanza estranea alla trama (tranne un breve passaggio dove una semplice equazione differenziale viene utilizzata per modellare l'assorbimento di una sostanza da parte dell'organismo). A dire il vero, le parti del romanzo che più mi hanno convinto sono le descrizioni dell'attività didattica del protagonista, dalla scelta di esempi appropriati ai rapporti non sempre idilliaci con il corpo studentesco (con l'immancabile babbeo che corregge le prove scritte a posteriori... è capitato anche a me, e un paio di volte ci sono anche cascato...). Si tratta insomma di un romanzetto gradevole, ma non certo di un must, nemmeno per gli appassionati di fiction a sfondo matematico.

giovedì 26 aprile 2012

A proposito...

... di Flatland: su YouTube è disponibile per intero anche l'adattamento che precede di una quindicina d'anni la versione di Emmer. In questo caso si tratta di un "cartoon" puro, valorizzato dalla voce di Dudley Moore. Non so voi, ma io lo trovo più simpatico. Eccolo qui:

mercoledì 25 aprile 2012

A proposito...

... di Michele Emmer: grazie a YouTube è visibile (suddiviso in tre parti) il suo adattamento del Flatland di Abbott, realizzato in parte con la tecnica dello stop-motion (interessante l'uso dei poligoni trasparenti) e in parte in computer grafica (un lavoro pionieristico: il cortometraggio è del 1982).
Eccone la prima parte:


La seconda è qui, la terza qui.

martedì 24 aprile 2012

Al cinema!

Con Numeri immaginari (Bollati Boringhieri) il matematico, cineasta e cinefilo Michele Emmer ci propone un affascinante sguardo a 360 gradi sul mondo del cinema dal punto di vista del cultore di matematica. Il saggio, strutturato come un lungometraggio (prologo, primo tempo, intervallo e così via), procede in maniera molto libera, per associazione di idee, e ci presenta tutta una serie di lungo- e cortometraggi (ma anche romanzi e racconti), sia scontati (come A beautiful mind), sia rari o praticamente irreperibili (come La lezione di matematica, del 1949, di cui viene comunque fornito uno "sbobinamento" in appendice), spesso accompagnati da gustosi spunti autobiografici, senza snobbare film "di cassetta" come Jurassic Park o Rain Man. Il libro si legge tutto d'un fiato, ma conviene tenere a portata di mano un blocchetto per appuntarsi gli innumerevoli suggerimenti per visioni, letture (con qualche "spoiler" di troppo: Emmer mi ha rovinato il finale di Presunto innocente...) e ulteriori approfondimenti. Sicuramente influenzerà non poco i contenuti di questo blog.

lunedì 23 aprile 2012

Da Gerberto all'ENIAC

Nel 1961, IBM contribuì alla realizzazione di una nuova ala del California Museum of Science and Industry con una mostra intitolata Mathematica: a World of Numbers... and Beyond, affidandone l'allestimento ad una celebre coppia di designers statunitensi, Charles e Ray Eames (quelli di Potenze di dieci). Cinque anni più tardi, sempre grazie ai coniugi Eames, i contenuti dell'esposizione vennero condensati nell'enorme (0.61 x 3.7 m) poster Men of Modern Mathematics, una timeline rappresentante circa un millennio di progressi matematici e, più in generale, scientifici. Un esemplare (originale, anche se un po' bistrattato) di tale poster fa bella mostra di sé in un corridoio del Liceo dove insegno, e a volte mi fa comodo come promemoria per situare personaggi ed eventi.
Qualche settimana fa, in occasione del centenario della nascita di Bernice Alexandra "Rey" Eames (1912-1988), IBM ha pubblicato (gratuitamente!) una app per iPad contenente una copia ad alta risoluzione del poster del 1966 e, soprattutto, una sua versione interattiva, corredata di links a Wikipedia e MacTutor. L'intervallo temporale coperto è lo stesso del poster, grosso modo dall'anno 1000 (il papato di Silvestro II) al 1946 (la costruzione del primo "computer"). Per quanto riguarda le descrizioni biografiche, il primo matematico menzionato è Omar Khayyam (1043-1123), e l'ultimo è John von Neumann (1903-1957), considerato da molti "l'ultimo dei grandi matematici".
Ai (felici, suppongo) possessori di un iPad consiglio quindi di scaricarsi (qui) Minds of Modern Mathematics, app corredata, tra l'altro, di alcuni dei filmati didattici prodotti dagli Eames e dai loro collaboratori (tra cui spicca, però, l'assenza di Powers of ten).

mercoledì 11 aprile 2012

Jack Tramiel, 1928-2012

Forse non era famoso come Steve Jobs, ma Jack Tramiel, scomparso domenica all'età di 83 anni, ha avuto per l'informatica un ruolo senz'altro paragonabile a quello del guru di Apple. Nato in Polonia, sopravvissuto ad Auschwitz, Tramiel verrà per sempre ricordato come il creatore del mitico Commodore 64, prodotto in circa 17 milioni di esemplari tra il 1982 e il 1994 (già, per dodici anni di seguito: oggi se l'iMac non viene aggiornato da sei mesi nessuno lo vuole più...), l'home-computer che per molti quarantenni di oggi rappresentò la porta d'ingresso nel mondo dell'informatica (e dei videogames...). Tramiel, dopo un tumultuoso divorzio dalla Commodore, fu anche l'artefice dell'Atari ST (il principale rivale dell'Amiga), un'altra macchina ricordata ancora con nostalgia.
Per rivivere un po' dell'atmosfera di quei mitici anni '80, consiglio la lettura del saggio Commodore: a company on the edge, dell'esperto di storia del computer Brian Bagnall (cui farà seguito, tra qualche mese, il secondo volume, The Amiga years).



lunedì 9 aprile 2012

Matematica... con le mani

La prima volta che ebbi modo di assistere ad una conferenza di Albrecht Beutelspacher (una dozzina d'anni fa, in occasione di un Mathematisches Colloquium all'università di Zurigo) tornai a casa con un modello per la realizzazione di un icosaedro troncato (un pallone da calcio, insomma), che realizzai il giorno appresso e che per un po' fece bella mostra di sé sulla mia scrivania al Politecnico. Qualche anno dopo rividi il matematico tedesco (ed ebbi anche il piacere di sedere a tavola con lui) ad Ascona, nell'ambito di un Workshop sull'insegnamento della matematica, in occasione del quale non mancò di deliziare la platea improvvisando con un semplice foglio di carta uno dei suoi celebri "giochini".
Come mostrano anche i filmati da lui realizzati per la televisione tedesca (vedi qui), Beutelspacher è un vero maestro nella visualizzazione dei concetti matematici, ed è proprio questo il tema del suo saggio Piega e spiega la matematica, scritto a quattro mani con Markus Wagner e uscito in italiano un paio d'anni fa da Ponte alle Grazie. Il libro contiene tutta una serie di suggerimenti per esplorare in modo costruttivo la matematica: figure piane, curve, simmetrie, solidi, semplici relazioni numeriche e codici segreti sono gli ingredienti delle esperienze che i due autori ci propongono, impiegando materiali molto semplici e mantenendo il livello di approfondimento accessibile anche ad un pubblico molto giovane.
Tra l'altro, se qualcuno volesse costruirsi l'icosaedero troncato, il modello è disponibile qui, in coda ad un breve saggio di carattere didattico pubblicato da Beutelspacher assieme ad una sua collaboratrice, Susanne Prediger.

lunedì 5 marzo 2012

La geometria dei cerchi

Philip Glass è senz'altro uno dei compositori contemporanei più celebri e influenti. Frequentemente associato alla corrente minimalista, egli preferisce definirsi un autore di musica con strutture ripetitive (ben evidenti nell'ascolto dei suoi brani). Glass è noto anche per le sue collaborazioni con il mondo del cinema (sono sue le suggestive colonne sonore di The Hours e The Illusionist, così come alcune delle musiche di sottofondo presenti in Watchmen).
Nel 1979, i produttori del programma educativo Sesame Street (quello con i Muppets di Jim Henson) commissionarono a Glass la musica per l'animazione Geometry of Circles, basata sulle simmetrie dell'esagono. Eccola, in tutto il suo splendore vintage:

domenica 4 marzo 2012

Letture...

Solitamente, terminata la lettura di una libro di carattere matematico, lo deposito sulla scrivania in attesa di parlarne su questo blog. Capita però che, per un motivo o per l'altro (pigrizia, soprattutto...) il libro in questione sulla scrivania ci stazioni per dei mesi, finché il ricordo sbiadisce a tal punto da non permettermi più di parlarne con cognizione di causa. Dedico quindi questo post ad alcuni volumi che ho letto nei mesi scorsi (così da poterli finalmente trasferire negli scaffali sparsi in giro per la casa).
  • Mario Livio, Dio è un matematico (Rizzoli), che curiosamente nella traduzione italiana ha perso il punto interrogativo. Un libro dedicato a due questioni correlate: Perché la matematica si rivela così preziosa nel descrivere il mondo che ci circonda, riuscendo a volte ad anticipare lo sviluppo delle scienze sperimentali?, e La matematica esiste di per sè, oppure è una creazione della mente umana?
  • Marco Malvaldi, Il re dei giochi e La carta più alta (Sellerio). Terzo e quarto capitolo della saga del BarLume, con i quattro simpatici vecchietti a fare da contraltare alle inchieste del "barrista", ex matematico e investigatore per caso Massimo. Il re dei giochi contiene un simpatico riferimento al paradosso dei compleanni (utilizzato dal protagonista per vincere una scommessa).
  • Piergiorgio Odifreddi, C'è spazio per tutti (Mondadori). Prima parte di una storia della geometria (di cui è già uscito il secondo volume), dedicata alla matematica greca. Bello.
  • Massimo Scorletti, Mario Italo Trioni, Matematica (Vallardi). Una sintesi della matematica liceale italiana. Poco adatta qui da noi, vista la totale assenza del concetto di vettore.

venerdì 3 febbraio 2012

BarLumi di matematica - 2

"(...) Grazie ad una corrispondenza biunivoca tra i risultati di quella domenica e quelli scritti da Massimo sulla schedina, il nostro era venuto in possesso di una parte di quel montepremi e aveva conseguentemente mandato a fare in culo la matematica, il dottorato e l'incertezza (...)". Probabilmente è stata questa frase, tratta da Il gioco delle tre carte (seconda parte della quadrilogia del BarLume) a convincermi a diventare un lettore fisso di Marco Malvaldi. Convinzione rinforzata dalla descrizione, settanta pagine più avanti, delle frustrazioni di un dottorando alle prese con un problematico direttore di tesi, che mi ha riportato indietro nel tempo di una dozzina d'anni (nel mio caso, purtroppo o per fortuna, nessuna vincita milionaria si è però frapposta tra me e la conclusione del lavoro...).
Anche questa seconda avventura del "barrista" e investigatore a tempo perso Massimo (coadiuvato dagli irresistibili "vecchietti"), ambientata sullo sfondo di un congresso scientifico, si rivela divertente e appassionante. Tra l'altro, giusto poco fa ho acquistato il quarto libro della serie, che inizierò a leggere in giornata.

lunedì 30 gennaio 2012

Un bell'esercizio - 2

Ancora a proposito del problema di cui ho parlato ieri: appurato che non è possibile disegnare un triangolo equilatero con l'aiuto dei quadretti del foglio, quali sono le approssimazioni più accurate ottenibili? Una (banale) ricerca esaustiva, effettuata con MAPLE a partire dai punti A(0,0) e B(x,y) con x e y tra 0 e 20, ha fornito come migliore approssimazione i vertici B(11,11) e C(-4,15). Ovviamente, un intervallo più generoso per le coordinate di B avrebbe prodotto risultati migliori. Ma esiste una soluzione più elegante, che non faccia uso della "forza bruta"? Sembra un problema di approssimazione razionale. Potrebbero venirci in aiuto le frazioni continue?

domenica 29 gennaio 2012

Un bell'esercizio

Tra gli infiniti esercizi che regolarmente appioppiamo ai nostri allievi, quanti potrebbero essere definiti veramente appassionanti (per lo meno agli occhi del matematico...)? Non certo i cosiddetti drills ("risolvi la seguente equazione", "calcola il limite", "deriva", "integra",...), ma nemmeno la maggior parte dei problemi geometrici, per lo più ricalcati su modelli preconfezionati. Un esercizio risulta appassionante quando esprime una "bella" matematica, cioè quando risulta appagante per il nostro (perverso) senso dell'estetica. E qui entra in gioco una forte componente soggettiva: per taluni, la matematica è bella quando un problema apparentemente complicato viene spazzato via da una geniale intuizione (la "verblüffende Einfachheit" descritta da Beutelspacher nel video che ho postato qui). Altri, invece, adorano quei problemi apparentemente semplici e comprensibili a chiunque la cui soluzione richiede però impegnative escursioni in ambiti inattesi della matematica. Io, forse, appartengo a quest'ultima (patologica) categoria, ed è per questo motivo che, a suo tempo, scelsi di dirigermi verso la teoria dei numeri. Un tipico esempio è un quesito che pongo regolarmente ai miei allievi: "mostra che è impossibile disegnare un triangolo equilatero su un foglio quadrettato" (in modo tale che i vertici appartengano agli incroci dei quadretti). O, in un linguaggio più matematico, "mostra che non esiste, nel piano cartesiano, un triangolo equilatero con tutti i vertici a coordinate intere. L'affermazione (nella prima versione, per lo meno) può essere compresa da chiunque, ma la dimostrazione (basata su due espressioni differenti dell'area del triangolo) fa uso di nozioni tutt'altro che banali (il determinante e, soprattutto, l'irrazionalità della radice di 3).
Ho tratto l'esercizio da 101 Mathematikaufgaben (purtroppo disponibile soltanto in lingua tedesca), del mio vecchio professore di didattica Peter Gallin, di cui ricordo con piacere le lezioni all'Università di Zurigo, condotte con uno stile sobrio e pragmatico, ben lontano dagli eccessi psicopedagogici che oggi vanno tanto di moda. Il testo, che non mancherò di cannibalizzare ulteriormente, contiene una collezione di quesiti posti come problema del mese alla Kantonsschule (denominazione svizzero-tedesca di Liceo) in cui Gallin ha insegnato per decenni in parallelo alla sua attività universitaria.

domenica 8 gennaio 2012

Bad@$$ F#ck!n' Fractal

L'insieme di Mandelbrot, l'inquietante struttura autosimile studiata negli anni '80 dal compianto Benoît Mandelbrot (1924-2010), rappresenta probabilmente il mio primo contatto con la matematica "vera": ricordo le ore di attesa per vederlo apparire sulla TV in bianco e nero che faceva da monitor al mio Commodore 64, sul quale avevo programmato un rudimentale algoritmo di visualizzazione con il famigerato Simons' Basic.
Alcuni mesi fa mi sono imbattuto in un simpatico omaggio a Mandelbrot e alla sua matematica, realizzato da tale Pisut Wissesing nell'ambito di un Workshop alla Cornell University:

   
L'autore delle musiche è Jonathan Coulton, cantautore indipendente e un po' geek che fa principalmente affidamento sulla rete per la diffusione e la vendita dei suoi lavori, concedendone gratuitamente l'utilizzo quali colonne sonore per video autoprodotti. Su YouTube se ne trovano in abbondanza; oltre a quello citato, ho trovato simpatici The Presidents (una lezione lampo di storia americana) e Ikea