domenica 23 febbraio 2014

Uno più due più tre più ecc.

Qual è il risultato della "somma infinita"
$$
\sum_{k=1}^{\infty}k = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + \ldots \quad\quad ?
$$
Beh, "non c'è", risponderete, oppure "infinito" (nel senso della definizione di limite: un numero sufficiente di addendi consente di sfondare qualsiasi barriera).
Srinivasa Ramanujian, però, non era dello stesso avviso, come dimostra questo estratto dai suoi appunti:
Cioè:
$$
\sum_{k=1}^{\infty}k = 1 + 2 +3 + 4 + 5 + \ldots = -\frac{1}{12} \quad.
$$
Bizzarro, nevvero? Se non ne siete convinti, date un'occhiata anche al seguente video, tratto da Numberphile:


Ah, e potrei anche aggiungere che, a quanto pare, tale risultato è di qualche utilità in fisica, nella spiegazione dell'effetto Casimir...

2 commenti:

  1. Buonasera Sore,

    possiamo "fidarci" di questa dimostrazione? Alcuni passaggi (come 1-1+1-...=1/2) non sono discutibili?

    Cordiali saluti e complimenti per il blog, sempre interessante!

    Nicolas Lanzetti

    RispondiElimina
    Risposte
    1. Ciao Nicolas, e grazie del messaggio. Possiamo fidarci fino a un certo punto: tutto dipende da cosa intendiamo per "somma". Esistono modi per assegnare un valore finito alle somme infinite anche quando la successione delle somme parziali non converge, che mantengono però alcune proprietà utili (come la linearità). Ho intenzione di approfondire (almeno un po') la cosa a breve.

      Elimina