lunedì 30 maggio 2016

La magia dei numeri di Fibonacci

Direttamente da Edimburgo (meta delle mie prossime vacanze estive), un TED Talk in cui il matemago Arthur Benjamin ci illustra la bellezza del ragionamento matematico con una dimostrazione "senza parole" di una delle tante proprietà dei numeri di Fibonacci, la relazione 
$$
\sum_{i=1}^n f_i^2 = 1^2+1^2+2^2+ 3^2+5^2+\ldots+ f_n^2 = f_{n} \cdot f_{n+1} \; ,
$$ che può essere intuita semplicemente osservando il disegno sottostante:


sabato 21 maggio 2016

Fibonacci e Binet - 2

La linearizzazione delle potenze di $\phi$ non è l'unico metodo per ricavare la formula di Binet. In alternativa si può fare uso della cosiddetta matrice di Fibonacci
$$
F=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
$$
per cui vale
$$
F^2=
 \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\,,\,
 F^3=
 \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
2 & 1
\end{pmatrix}
\,,\,
F^4= \begin{pmatrix}
5 & 3 \\
3 & 2
\end{pmatrix}
\,,\,
F^5= \begin{pmatrix}
8 & 5 \\
5 & 3
\end{pmatrix}
 $$
e più in generale, com'è relativamente semplice mostrare induttivamente, 
$$
F^n =\begin{pmatrix}
f_{n+1} & f_{n} \\
f_n &f_{n-1}
\end{pmatrix}
$$
dove $(f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,f_7\ldots)=(1,1,2,3,5,8,13,\ldots)$ rappresenta la successione di Fibonacci. Essenzialmente, occorre quindi calcolare le potenze di $F$ in modo efficiente.
Iniziamo determinando gli autovalori di $F$; il suo polinomio caratteristico è il "polinomio aureo" 
$$
p_F(\lambda)={\rm det}(F-\lambda I_2)=\lambda^2-\lambda-1
$$
i cui zeri sono gli autovalori di $F$
$$
\lambda_1=\phi=\frac{1+\sqrt 5}{2} \quad,\quad
\lambda_2=\rho=-\frac{1}{\phi}=1-\phi=\frac{1-\sqrt 5}{2} \;.
$$
Per i relativi autospazi vale
$$
S_\phi={\rm Ker}(F-\phi I_2)=
\left<
\begin{pmatrix}
-1 \\ \rho
\end{pmatrix}
\right>
$$
e
$$
S_\rho={\rm Ker}(F-\rho I_2)=
\left<
\begin{pmatrix}
-1 \\ \phi
\end{pmatrix}
\right> \;.
$$
Di conseguenza, per
$$
B=
\begin{pmatrix}
-1 & -1 \\ \rho & \phi
\end{pmatrix}
$$
vale
$$
F=
B
 \begin{pmatrix}
\phi & 0 \\ 0 & \rho
\end{pmatrix}
B^{-1}
$$
e
$$
F^n =
B
 \begin{pmatrix}
\phi^n & 0 \\ 0 & \rho^n
\end{pmatrix}
B^{-1}
= \ldots =
\frac{1}{\sqrt{5}}
\begin{pmatrix}
\phi^{n+1}-\rho^{n+1} & \phi^n-\rho^n \\  \phi^n-\rho^n & \phi^{n-1}-\rho^{n-1}
\end{pmatrix} \:.
$$
Dal confronto delle componenti con
$$
F^n =\begin{pmatrix}
f_{n+1} & f_{n} \\
f_n &f_{n-1}
\end{pmatrix}
$$
segue immediatamente che
$$
f_n =  \frac{ \phi^n-\rho^n}{\sqrt{5}} \quad,
$$
come volevasi dimostrare.

giovedì 19 maggio 2016

Fibonacci e Binet - 1

È più o meno noto a tutti che vi è un rapporto tra i numeri di Fibonacci $$ 1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21,\,34,\,55,\,89,\,144,\,\ldots$$ e la sezione aurea $$ \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad. $$
Meno noto è il fatto che la sezione aurea $\phi$ compare in una formula esplicita per calcolare i termini della successione di Fibonacci, attribuita al matematico francese Jacques Philippe Marie Binet ma già nota in precedenza, ad esempio a Abraham de Moivre.
Tale formula può essere derivata in svariati modi. Ad esempio, come mostrano le slides incluse qui (preparate una dozzina d'anni fa per un corso di Didattica della matematica all'Uni di Zurigo, e in seguito tradotte in italiano per una "Giornata autogestita" del Liceo), linearizzando le potenze di $\phi$.





martedì 17 maggio 2016

SYS 64738

Ho appreso i primi rudimenti di programmazione una trentina d'anni fa, grazie al famigerato Basic V2 installato nella ROM del Commodore 64 che, a quanto si dice, Jack Tramiel aveva ottenuto da un giovane Bill Gates per soli 25000$ una tantum (un pessimo affare per la Microsoft: inizialmente Gates aveva chiesto 3$ per ogni esemplare venduto - e di C64 ne sono stati venduti, in 10 anni, una quindicina di milioni!). Un linguaggio poverissimo di comandi e di struttura, dal cui influsso forse non mi sono mai ripreso (i miei saltuari sforzi di programmazione ne risentono ancora oggi). 
Ne ho ritrovata recentemente una versione abbastanza fedele sotto forma di app per iPhone/iPad, denominata handBasic (è gratuita, almeno nella versione di base), con cui ho riprovato a cimentarmi. È incredibile come, a distanza di trent'anni, certi automatismi siano immediatamente ritornati, come mostra l'esempio a sinistra (che fa, in un certo senso, da introduzione ai prossimi due post).

domenica 15 maggio 2016

Malvaldi^2


Ho appena terminato di leggere, praticamente in contemporanea, le due ultime opere di Marco Malvaldi.
La battaglia navale (Sellerio) è il sesto romanzo della Saga del BarLume, dove il barrista Massimo, sempre più coadiuvato dalla nuova fidanzata Alice e sostenuto dall'"ostinazione senile" dei terribili vecchietti, risolve un complicato caso legato al ritrovamento di un cadavere sulla spiaggia. Stavolta la matematica fa solo una fugace apparizione, a pag. 43, grazie alla nozione di fattoriale. E qui Malvaldi fa compiere pure un piccolo errore di calcolo al suo alter ego letterario (gli anagrammi, anche privi di senso, di -ehm- "cozza" non sono 5!=120, ma solo sessanta, dal momento che l'indistinguibilità delle due "z" ne dimezza il numero). Ma ciò non nuoce certo alla godibilità del romanzo.
È decisamente più ambizioso, invece, L'infinito tra parentesi (Rizzoli), in cui Malvaldi si propone di descrivere, essenzialmente, il rapporto tra scienza e poesia, mettendo in risalto come entrambe siano modi in cui la mente umana si approccia alla realtà, ad esempio nell'uso di efficaci analogie. E che quindi emozioni e sentimenti risiedono a pieno titolo anche nel mondo scientifico. Ciascuno dei 10 capitoli che compongono il libro è preceduto da una poesia (o da un passaggio di una composizione poetica), da cui l'autore si fa ispirare per divagare in modo abbastanza libero su quei concetti che la lettura gli ha suggerito. Ad esempio Invernale, di Guido Gozzano,  apre un discorso dedicato alle fratture nei materiali, e la bellissima L'acqua, della Szymborska, fornisce il pretesto per parlare da un lato della struttura delle molecole, e dall'altro della cosiddetta memoria dell'acqua, un meccanismo, poi rivelatosi privo di senso, utilizzato in passato per giustificare l'efficacia dei rimedi omeopatici. Ma l'elenco dei Poeti citati da Malvaldi comprende pure Omero, Lucrezio, Dante, Shelley, Kipling, Montale, Borges, senza dimenticare il meno noto, ma caro all'autore, Ernesto Ragazzoni. 

venerdì 6 maggio 2016

Il teorema di Pitagora

di Ernesto Ragazzoni

I tempi sono tristi! Il vecchio mondo s’usa
a trascinarsi il fianco nel giro dei pianeti!
Le balene si fan sempre più rare, i feti
voglion dar fuoco all’alcool ove la vita han chiusa.
Per consolarti, o povera anima mia, ripeti:
il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
è la somma di quelli fatti sui due cateti.

Anima mia, rammenti? dall’ombre d’oggi illusa,
questo non ti riporta al raggio dei dì lieti?
O che non ci fiorivano nel cuor tutti i roseti
al tempo in cui a zuffa coll’algebra confusa,
sui banchi imparavamo, monelli irrequïeti,
che il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
è la somma di quelli fatti sui due cateti?

Ora, i tempi a mal volgono. L’un polo l’altro accusa
di accaparrarsi il ghiaccio, e sono ambo inquieti;
l’oche pretendon esser — ahimè! — cigni; i poeti
annegano in tropp’acqua il vino della musa;
le questioni scottanti brucian tutti i tappeti;
ma il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
è la somma di quelli fatti sui due cateti.

Il cannone, Tamagno delle battaglie, abusa
della sua voce, e fulmina. — O dunque, dai roveti
ardenti più non parlano i Jeova ai profeti?
Non tentenna la terra a un guardo di Medusa?
Un mane, techel, phares è a tutte le pareti...
Ma il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
è la somma di quelli fatti sui due cateti.

La vita è una prigione in che l’anima hai chiusa,
uomo, ed invano brancoli cercando alle pareti.
Sono di là da quelle i bei fonti segreti
ove tu aneli, e dove la pura gioia è fusa.
Qui, solo hai qualche gocciola di ver per le tue seti.
Il quadrato costrutto sovra l’ipotenusa
è la somma di quelli fatti sui due cateti.

Ernesto Ragazzoni (1870-1920), novarese, fu giornalista e scrittore. Il teorema di Pitagora, in cui l'immutabile verità dell'enunciato matematico viene messa a confronto con le incertezze dell'esistenza,  è tra le sue poche composizioni poetiche "serie" (cioè non volte, con il sarcasmo che lo contraddistingueva, a mettere alla berlina la buona società dell'epoca). Disprezzato da Montale, è stato recentemente "ripescato" da Marco Malvaldi, che ne ha fatto il protagonista del bel romanzo Buchi nella sabbia (Sellerio 2015). Il titolo è ripreso da una Ballata composta dallo stesso Ragazzoni, che descriveva la sua professione di giornalista come quella di chi fa, appunto, buchi nella sabbia, destinati a scomparire con la prossima marea.
L'opera poetica del Ragazzoni può essere consultata ad esempio qui.

domenica 1 maggio 2016

5, 10, 20, 30, 36...

... quarantatré. Chi, se non il più geniale tra i compositori del periodo classico, avrebbe potuto rendere memorabile, musicandola, una banale (ma non poi così tanto; la somma è il quadrato di 12; sarà una caso?) sequenza di sei numeri? Ascoltare per credere (è circa a 6:05 dall'inizio, ma ascoltatevi anche l'Ouverture, sublime nell'interpretazione di Harnoncourt; e poi andate a 48:40...).


Un'altra celeberrima sequenza numerica Mozartiana (640, 231, 100, 91, 1003) compare nel Catalogo delle conquiste del dissoluto punito.

Ho trascorso parte delle vacanze pasquali a Vienna, cadendo vittima del fascino delle composizioni mozartiane grazie a un (turistico ma efficace) concerto nella Goldene Saal del Musikverein (comprendente buona parte del Requiem) e a una versione ammodernata (e difficilina) della Clemenza di Tito alla Staatsoper, che ho inflitto anche a moglie&figli. Da allora ascolto Mozart di continuo (anche nella versione Reloaded di Stefan Obermeier), tanto che le sue melodie mi risuonano in testa nei momenti più inattesi. Ma credo non sia un caso: probabilmente il buon Wolfgang è il compositore più apprezzato dai matematici, che ne hanno sezionato la musica alla ricerca di rapporti numerici interessanti (come la sezione aurea che, a dire il vero, a cercarla si trova un po' ovunque...). Pare, comunque, che il Compositore fosse genuinamente affascinato dai numeri, e alcune testimonianze (della sorella, in particolare) lo descrivono nell'atto di scribacchiare formule e numeri sui margini dei suoi spartiti (si veda anche qui). E a lui viene comunemente attribuito un celebre Musikalisches Würfelspiel, gioco che ricombina le battute pre-composte di un brano musicale sulla base del lancio di dadi (tra l'altro, è possibile giocarci nel corso della visita alla Haus der Musik); in questo Mozart sarebbe quindi tra i precursori della cosiddetta musica aleatoria che, ad esempio grazie a John Cage, nel XX secolo ha raggiunto livelli decisamente fuori di testa...
Ah, e poi c'è l'effetto Mozart: a quanto pare, l'ascolto della musica di Mozart favorirebbe nei bambini uno sviluppo del "ragionamento spazio-temporale" (da qualche parte ho letto che ha un effetto positivo anche sulla crescita della lattuga). Credo che lo possiamo archiviare alla voce "baggianate pseudoscientifiche". Godiamoci piuttosto il genio mozartiano per quello che è: musica sublime.